평생 소원이 누룽지

물리

Halliday Physics Chapter 22

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이 문서의 목차
  1. 1. Electric Field
  2. 2. Electric Field Line
  3. 3. Electric Field Due to a Point Charge
  4. 4. Electric Field Due to an Electric Dipole
  5. 5. Electric Field Due to Continuous Charge Distribution
    1. (1) Electric Field on the Axis of a Charged Ring
    2. (2) Electric Field on the Axis of a Charged Disk
  6. 6. A Point Charge in an Electric Field
  7. 7. A Dipole in an Electric Field

1. Electric Field

  • Electric Field: 전하 주변 공간에 형성되는 힘의 장
  • Test Charge: 전기장의 존재와 크기를 측정하기 위한 양의 점전하, \(E = F/q_0\)
  • 단위: \(\text{N/C}\) 또는 \(\text{V/m}\)
  • Positive charge: Points away
  • Negative charge: Points toward

2. Electric Field Line

  • 양전하에서 시작, 음전하에서 끝남
  • 접선 방향이 \(\mathbf{E}\) 방향
  • 밀도가 \(E\)에 비례
  • 교차하거나 나뉘지 않음

3. Electric Field Due to a Point Charge

  • 점전하 \(q\)가 거리 \(r\)에 만드는 electric field
    • 스칼라 표현
    \[E = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{|q|}{r^2} = k \dfrac{|q|}{r^2}\]
    • 벡터 표현
    \[\mathbf{E} = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{|q|}{r^2} \hat{\mathbf{r}} = k \dfrac{|q|}{r^2} \hat{\mathbf{r}}\]

4. Electric Field Due to an Electric Dipole

  • Electric Dipole: \(+q\), \(-q\)가 \(d\)만큼 떨어져 있는 계
  • Electric Dipole Moment: \(p = qd\), \(d\)는 \((-)\)에서 \((+)\) 방향
  • 축 상에서 전기장(\(z \gg d\))
    \[E = \dfrac{1}{2 \pi \varepsilon_0} \dfrac{p}{z^3}\]
증명

todo

5. Electric Field Due to Continuous Charge Distribution

\[\mathrm d \mathbf{E} = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{\mathrm dq}{r^2} \hat{\mathbf{r}}, \quad \mathbf{E} = \int \mathrm d \mathbf{E}\]
  • Line Charge Density: \(\lambda = \dfrac{\mathrm dq}{\mathrm dx} \quad [\text{C/m}]\)
  • Surface Charge Density: \(\sigma = \dfrac{\mathrm dq}{\mathrm dA} \quad [\text{C/m}^2]\)
  • Volume Charge Density: \(\rho = \dfrac{\mathrm dq}{\mathrm dV} \quad [\text{C/m}^3]\)

(1) Electric Field on the Axis of a Charged Ring

  • \(q\)로 대전된 반지름이 \(R\)인 고리의 축 상의 점 \((0, 0, z)\)에서 전기장
\[E = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{qz}{(z^2 + R^2)^{3/2}}\]
증명

\(\displaystyle E = \int \mathrm dE = \int \mathrm dE_{z} = \int \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{z^2 + R^2} \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\ \mathrm dq = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{z}{(z^2 + R^2)^{3/2}} \int \mathrm dq = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{qz}{(z^2 + R^2)^{3/2}}\)

(2) Electric Field on the Axis of a Charged Disk

  • \(q\)로 대전된 반지름이 \(R\)인 원판의 축 상의 점 \((0, 0, z)\)에서 전기장
\[E = \dfrac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left( 1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} \right)\]
증명

\(\mathrm dE_z = \mathrm dE \cos \theta = \mathrm dE \cdot \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{r^2 + z^2} \cdot (\sigma \cdot 2 \pi r\ \mathrm dr) \cdot \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + r^2}} = \dfrac{\sigma z}{2 \varepsilon_0} \dfrac{r}{(z^2 + r^2)^{3/2}}\ \mathrm dr\)

Therefore \(\displaystyle \int \mathrm dE_{z} = \dfrac{\sigma z}{2 \varepsilon_0} \int_{0}^{R} \dfrac{r}{(z^2 + r^2)^{3/2}}\ \mathrm dr = \dfrac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \left( 1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} \right)\)

6. A Point Charge in an Electric Field

  • 전기장 \(E\)에 전하 \(q\)를 놓았을 때 힘 \(F = qE\)
  • 전기장 \(E\)에서 dipole이 회전할 때 일과 PE의 관계 유도
    1. Torque 크기: \(\tau = -pE \sin \theta\)
    2. 전기장이 한 일: \(\mathrm dW = \tau\ \mathrm d \theta = -pE \sin \theta\ \mathrm d \theta\)
    3. \(\Delta U = -W = \displaystyle \int_{\theta_0}^{\theta} pE \sin \theta\ \mathrm d \theta = pE (\cos \theta_0 - \cos \theta)\)

7. A Dipole in an Electric Field

균일한 전기장 \(E\)에 dipole이 존재할 때

  • Net force: \(F_{\text{net}} = 0\)
  • Torque: 쌍극자를 전기장 방향으로 정렬시키려는 torque 발생, \(\tau = -pE \sin \theta\)
    • \(U = - \mathbf{p} \cdot \mathbf{E} = -pE \cos \theta\)
      • \(\theta = 0\)에서 가장 안정적, \(\theta = \pi\)에서 가장 불안정적